מחשבון שורש שלישי עוזר למצוא את המספר שאם מעלים אותו בחזקה של 3, מקבלים את המספר הנתון. אם המספר הוא 27, שורש שלישי שלו הוא 3, כי 3×3×3 שווה 27. אם המספר שלילי, גם אז אפשר לחשב שורש שלישי ממשי, למשל לשורש שלישי של -8 יש פתרון ממשי אחד.
החישוב הזה שימושי כשעובדים עם חזקות, עם נפחים, עם תרגילים מתמטיים ועם בדיקות היגיון מהירות. אם תרצו להשוות בין סוגי שורשים, כדאי להכיר גם את מחשבון שורש ואת המחשבון המדעי, שבהם אפשר לבצע גם חזקות ושורשים נוספים.
מהו שורש שלישי
שורש שלישי של מספר הוא מספר שכאשר מעלים אותו בחזקת 3, מקבלים את המספר המקורי. מסמנים זאת כך: ∛x = y כלומר: y³ = x
לדוגמה:
- ∛27 = 3, כי 3³ = 27
- ∛64 = 4, כי 4³ = 64
- ∛-125 = -5, כי (-5)³ = -125
במילים פשוטות, השורש השלישי הוא “ההפך” של העלאה בחזקה של 3. בניגוד לשורש ריבועי, כאן אין בעיה לקבל תוצאה ממשית גם ממספרים שליליים, כל עוד עובדים במספרים ממשיים רגילים.
מתי משתמשים בחישוב הזה
לא תמיד צריך שורש שלישי ביום-יום, אבל הוא מופיע בכמה מצבים ברורים:
- בפתרון תרגילים בגיאומטריה ובאלגברה
- כשבודקים נפח של קובייה או צורה תלת-ממדית אחרת
- כשעובדים עם חזקות והיפוכן
- כשמבקשים להעריך מספר שמעלה בחזקת 3 ומגיע לערך נתון
- כשצריך פתרון מדויק במקום ניחוש
אם אתם עובדים עם יחידות, המרות או גדלים שנעים בין כמה מערכות מדידה, לפעמים נוח לשלב את החישוב עם מחשבון המרת יחידות כללי כדי לוודא שאתם בכלל מחשבים באותן יחידות.
איך מחשבים שורש שלישי
יש כמה דרכים להבין את החישוב.
1. לפי הגדרה
מחפשים את המספר y כך ש-y³ = x.
אם x = 125, מחפשים מספר שכאשר מכפילים אותו בעצמו שלוש פעמים מקבלים 125. התוצאה היא 5. אפשר לבדוק גם כך: 125 = 125.
כלומר, ∛125 = 5.
2. בעזרת חזקות
אפשר לכתוב: ∛x = x^(1/3)
כלומר, שורש שלישי הוא חזקת שליש. זה שימושי במיוחד במחשבונים ובפתרון תרגילים מתקדמים. אם יש לכם מספר שאינו חזקה מושלמת של 3, תקבלו תוצאה עשרונית.
3. במספרים שליליים
למספר שלילי יש שורש שלישי ממשי, כי חזקה של 3 שומרת על הסימן: ∛(-x) = -∛x
לדוגמה, אם x = 8, אז ∛(-8) = -∛8 = -2.
דוגמאות חישוב
כדי להבין איך לקרוא את התוצאה, בדקו כמה דוגמאות קצרות.
דוגמה 1: מספר שלם חיובי
נניח שצריך לחשב את השורש השלישי של 64. מחפשים מספר שכאשר מעלים אותו בחזקה של 3 מקבלים 64.
התוצאה היא 4. אפשר לבדוק גם כך: 64 = 64.
כלומר, ∛64 = 4.
דוגמה 2: מספר שלם שלילי
נניח שצריך לחשב את השורש השלישי של -125. מחפשים מספר שלילי, כי חזקה שלישית של מספר שלילי נשארת שלילית.
התוצאה היא -5. בדיקה: -125 = -125.
כלומר, ∛(-125) = -5.
דוגמה 3: מספר שאינו חזקה מושלמת
נניח שהמספר הוא 50. כאן לא מקבלים מספר שלם. התוצאה היא 3.68.
המשמעות היא שהשורש השלישי של 50 הוא מספר עשרוני בין 3 ל-4, כי 3³ = 27 ו-4³ = 64. אם רוצים דיוק אחר, אפשר לעגל בעזרת מחשבון עיגול מספר אחרי שמקבלים את התוצאה.
איך לקרוא את התוצאה
התוצאה יכולה להיות באחת משתי צורות:
- מספר שלם — כשמדובר בחזקה מושלמת של 3, כמו 8, 27, 64 או 125
- מספר עשרוני — כשאין מספר שלם שמתאים בדיוק, ולכן מתקבלת תשובה מקורבת
אם התוצאה עשרונית, כדאי להבין מהו הדיוק שאתם צריכים. לפעמים מספיק לדעת שהשורש השלישי של מספר מסוים נמצא בין שני מספרים שלמים. לפעמים צריך ערך מדויק יותר לחישוב המשך.
דרך טובה לבדוק אם קיבלתם תוצאה נכונה היא להעלות את התוצאה בחזקת 3 ולראות אם חוזרים למספר המקורי:
- אם קיבלתם y, חשבו y³
- אם חוזר x המקורי, החישוב תקין
טעויות נפוצות
כדאי לשים לב לכמה בלבולים נפוצים:
- בלבול בין שורש ריבועי לשורש שלישי
שורש ריבועי מחפש מספר שמוכפל בעצמו פעמיים. שורש שלישי מחפש מספר שמוכפל בעצמו שלוש פעמים.
- הנחה שמספר שלילי “אין לו שורש”
זה נכון לשורש ריבועי ממשי, אבל לא לשורש שלישי. למספר שלילי יש שורש שלישי ממשי.
- קריאת תוצאה עשרונית כאילו היא מדויקת לגמרי
אם המספר המקורי אינו חזקה של 3, התוצאה עשויה להיות קירוב.
- שכחת בדיקת הסימן
אם המספר שלילי, גם השורש השלישי יהיה שלילי.
- שימוש בחזקה לא נכונה
כדי לבדוק תוצאה, צריך להעלות בחזקה 3, לא בחזקה 2 ולא בחזקה אחרת.
- ציפייה לתוצאה שלמה בכל מקרה
רק מספרים שהם חזקות מושלמות של 3 מחזירים שורש שלישי שלם. למשל 1, 8, 27, 64 ו-125. בשאר המקרים התוצאה היא עשרונית או מקורבת.
מתי החישוב מוגבל
המחשבון מחשב שורש שלישי במספרים ממשיים רגילים. זה אומר:
- למספרים חיוביים יש תוצאה ממשית רגילה
- למספרים שליליים יש תוצאה ממשית שלילית
- למספר 0 התוצאה היא 0
אם אתם צריכים עבודה עם מספרים מרוכבים או עם סימונים מתמטיים מתקדמים יותר, זה כבר לא חישוב בסיסי של שורש שלישי. במקרים כאלה עדיף להשתמש בכלי מתמטי מתאים יותר או לבדוק את שיטת הפתרון לפי סוג התרגיל.
כשאתם לא בטוחים, אפשר להשוות בין הערך שהתקבל לבין מספרים קרובים אליו, או לבדוק את החזקה ההפוכה. אם מדובר בתרגיל לימודי, כדאי גם לעבור על ההגדרה של שורש ושל חזקה במקור מידע על מחשבון כדי לרענן את המונחים.
איך להשתמש בתוצאה בפועל
אחרי שמקבלים את השורש השלישי, השתמשו בו לפי הצורך:
- כערך מדויק בתרגיל מתמטי
- כבסיס לחישוב נוסף עם חזקות
- כהשוואה בין גדלים דומים
- כבדיקה אם מספר מסוים הוא חזקה של 3
אם אתם ממשיכים לפתרון מורכב יותר, רשמו את התוצאה בצורה ברורה ושמרו על אותו מספר ספרות עשרוניות לכל אורך הדרך. כך תקטינו טעויות עיגול ותשמרו על עקביות. אם קיבלתם מספר עשרוני, בדקו אותו שוב באמצעות העלאה בחזקת 3, ורק אז עברו לשלב הבא בתרגיל.
שאלות נפוצות
- מה ההבדל בין שורש שלישי לשורש ריבועי?
- שורש ריבועי מחפש מספר שכאשר מעלים אותו בחזקת 2 מקבלים את המספר המקורי. שורש שלישי מחפש מספר שמועלה בחזקת 3. בשורש שלישי גם מספרים שליליים יכולים לקבל תוצאה ממשית.
- האם לשורש שלישי של מספר שלילי יש תשובה?
- כן. בניגוד לשורש ריבועי, לשורש שלישי של מספר שלילי יש תוצאה ממשית אחת. למשל, השורש השלישי של -8 הוא -2.
- איך בודקים אם השורש השלישי שחישבתי נכון?
- מעלים את התוצאה בחזקת 3. אם מקבלים את המספר המקורי, החישוב נכון. זו בדיקה פשוטה שעוזרת גם כשמקבלים תוצאה עשרונית.
- למה לפעמים מתקבלת תוצאה עשרונית?
- כי לא כל מספר הוא חזקה מושלמת של 3. במקרים כאלה השורש השלישי אינו מספר שלם, ולכן מתקבל ערך מקורב או עשרוני.
- האם אפשר לחשב שורש שלישי של 0?
- כן. השורש השלישי של 0 הוא 0, כי 0×0×0 שווה 0. זה מקרה פשוט במיוחד.
- מתי משתמשים בשורש שלישי בלימודים?
- בעיקר בתרגילי חזקות, באלגברה, בגיאומטריה ובחישובי נפח. הוא מופיע גם כשבודקים אם מספר מסוים הוא חזקה של 3.
- האם אפשר להיעזר במחשבון הזה גם לחזקות?
- המחשבון הזה מיועד לשורש שלישי, אבל אם אתם צריכים גם חזקות ושורשים אחרים, עברו למחשבון מדעי והמשיכו משם.
על המאמר
המאמר נכתב על ידי יהב עטיה, WSO – סוכנות הדיגיטל (wso.co.il), הבעלים ומקימי האתר, בעזרת בינה מלאכותית ועבר בדיקות איכות אוטומטיות לפני הפרסום. המספרים בדוגמאות חושבו בקוד ולא הוערכו.